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考研数学:极限计算中两种降阶方法的介绍及对比

发布日期:2021-02-19 10:54:24  来源:贵州中公考研

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  在学习高等数学的过程中,极限的计算是同学们最初就需要学习的基本运算,也是高等数学比较核心且在考研试卷中考查较多的一部分。所以对于计算的方法需要进行系统的学习,而极限的命题往往会出现分子分母阶数比较高的题目,同学们面对这类题目往往会有畏难情绪,所以今天上海研究生招生信息网小编就为大家介绍两种行之有效的降阶方法,分别是四则运算和洛必达法则。

  首先我们先介绍四则运算。顾名思义,四则运算就是加减乘除,在做极限计算的过程中,能够起到极大的化简作用,甚至一些题目可借助四则运算直接口算得出答案,下面我们举例说明其使用方法。

  例1:

 

  通过观察,我们不难发现,本题中分子分母包含完全相同的因子 ,所以也容易会发现本题可使用四则运算进行拆分,从而使得分子分母的2次方降为0次,而剩余部分则需要通过等价无穷小替换公式进行化简,从而分子又会出现2次方,与分母可进行降阶约分,具体运算如下:

  

 

  以上的题型可通过观察发现拆分的方式,但对于无法直接拆分的题目,四则运算也可进行有效而快速的降阶,如例2:

  例2:

 

  通过分析大家可发现,本题是

型的未定式,而且无法进行有效的拆分从而达到降阶的效果。

 

  

型的题目一般会比较抽象,但大家都知道
,因此对于本题,我们可选择分子分母同除
,从而在分子分母中构造更多的无穷小量0,达到化简效果,具体解题过程如下:

 

  

 

  通过分子分母同除

,我们可将2次成功降为0次,从而通过很快的速度得到本题的答案。而这种方法我们也将其成为“抓大头”,对于
未定式的题目,只需要将分子分母各自起主导项的最高次及其系数做保留,从而口算得到答案。

 

  以上是四则运算在降阶过程中的两种具体题型及解题思路。下面我们介绍另一种同学们使用较多的降阶方法——洛必达法则。该方法的核心思想是对于

的两种未定式的分子分母同时求导,从而达到逐级降阶的目的,具体方法如例3所示:

 

  例3:

 

  

 

  当然,本题在计算过程中只使用了一步等价无穷小替换后便一直使用洛必达,我们会发现其解题过程比较繁琐,为了达到将分母的3次方降到0次,需要洛必达两次后进行约分。但在后期学习过程中,同学们还会使用到泰勒公式,可通过常见麦克劳林展开式进行运算,计算过程更加简单。

  通过以上两种方法的介绍,相信大家对于极限计算过程的降阶方法有了一定的了解。通过比较不难发现四则运算在计算过程中较为简洁,而且可以实现一步运算将高阶降到低阶,但洛必达法则如果想从高阶降到低阶则需要逐级降阶,每一步运算只能实现降低一阶的目的,运算相对繁琐,但后期学习过泰勒公式等方法后,在使用洛必达的过程中穿插其他方法,可使计算变得快捷,准确。

  最后,中公考研研究院所有老师祝同学们复习顺利!

  以上是贵州研究生招生信息网小编为大家整理的“考研数学:极限计算中两种降阶方法的介绍及对比”相关内容,更多考研相关内容尽在上海中公考研数学频道。为了考生们更好的复习,贵州中公考研为广大学子推出乐学面授课等备考课程,针对每一个科目要点进行深入的指导分析,欢迎各位考生了解咨询。

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